Introducción

Introducción

A medida que el tiempo avanza, los seres humanos se van incluyendo en procesos cada vez más complejos y abordando nuevos temas que facilitan su supervivencia y que lo relacionan con el amplio mundo matemático que existe.  Igual sucede con los procesos académicos, poco a poco se va aumentando el nivel de complejidad de los temas que se abordan y que son muy importantes para el enriquecimiento cognitivo, personal y social.

Desde el curso de álgebra, trigonometría y geometría analítica, se ha creado el siguiente blog, en el que  se estudia y analiza los elementos de los triángulos y las diferentes formas de solucionarlos en su totalidad, aplicando teoremas básicos y con la facilidad de interpretar, argumentar y proponer frente a la aplicación de las leyes del seno y el coseno.  

Teoría del seno y del coseno

TEORIA DEL SENO Y COSENO

La teoría de los seno se puede definir, como la relación de tres igualdades que siempre se cumple en los lados y ángulos de un triangulo cualquiera, la cual es útil para resolver ciertos tipos de problemas que generen un triangulo.

A pesar de ser unos de los teoremas más usados y tener una demostración relativamente fácil de explicar con respectos a los triángulos, es poco común que se presente o discuta en los cursos trigonométricos, su demostración se basa en la siguiente.

la aplicación de esta ley es utilizado para resolver problemas en los que se conocen dos ángulos del triángulo y un lado opuesto a uno de ellos. También se usa cuando conocemos dos lados del triángulo y un ángulo opuesto a uno de ellos.

 LEY DEL COSENO.

El teorema del coseno es también conocido por el nombre de teorema de pitagora generalizado, ya que el teorema de pitagora es un caso particular: cuando el ángulo  es recto o, dicho de otro modo, cuando , el teorema del coseno se reduce a:

                                                          
Que es esto precisamente la formulación del teorema de Pitágora.

La teoría del coseno se conoce en un triangulo como; el cuadrado de cada lado es igual a la suma de los cuadrados de los otros dos, menos el doble producto del producto de ambos por el coseno del ángulo que forman. ejemplo:

                                               
Tomado de:  

http://leydelsenoycosenogilmergodoy.blogspot.com.co/2012/11/teoria-del-seno-y-coseno_5.html

La trigonometría desarrollada por árabes, la trigonometría en occidente

LA TRIGONOMETRÍA DESARROLLADA POR ÁRABES LA TRIGONOMETRÍA EN OCCIDENTE.

LA TRIGONOMETRÍA DESARROLLADA POR ÁRABES.

A finales del siglo VIII los astrónomos árabes, que habían recibido la herencia de las tradiciones de Grecia y de la India, prefirieron trabajar con la función seno. En las últimas décadas del siglo X ya habían completado la función seno y las otras cinco funciones y habían descubierto y demostrado varios teoremas fundamentales de la trigonometría tanto para triángulos planos como esféricos. Varios matemáticos sugirieron el uso del valor r = 1 en vez de r = 60, lo que produjo los valores modernos de las funciones trigonométricas.

Los árabes calcularon tablas precisas en división sexagesimal; entre ellos destacó en particular Abu al-Wafa al - Buzadjami (940 - 997) por las divisiones en cuarto de grado, con cuatro posiciones sexagesimales. Por otra parte, este matemático, introdujo, con otro nombre, la tangente y la secante al lado del seno.

“Tratado del cuadrilátero” de Nasir al - Din al - Tusi (1201 - 1274). En esta obra, el cuadrilátero está formado por un triangulo esférico y un circulo máximo y permite emplear el teorema de Menelao.. . Esta resolución dice: “Cuando el triangulo viene dado mediante sus 3 ángulos, se resuelve gracias al triángulo suplementario”.

LA TRIGONOMETRÍA EN OCCIDENTE

El occidente se familiarizó con la trigonometría árabe a través de traducciones de libros de astronomía arábigos, que comenzaron a aparecer en el siglo XII. El primer trabajo importante en esta materia en Europa fue, De triangulus escrito por el matemático y astrónomo alemán Johann Müller, llamado Regiomontano. Durante el siguiente siglo, el también astrónomo alemán Georges Joachim, conocido como Rético, introdujo el concepto moderno de funciones trigonométricas como proporciones en vez de longitudes de ciertas líneas.

Los primeros trabajos matemáticos del francés Français Viéte (1540 - 1603) se referían a la trigonometría. Su Canon matemáticas (1579) es una tabla de seis líneas trigonométricas calculadas de minuto en minuto para el radio 100.000.. Esta tabla está acompañada de fórmulas para la resolución de triángulos planos y esféricos. . Este matemático también mostró la analogía entre estas fórmulas y las del desarrollo en potencias del binario. Desde entonces, la trigonometría, como estudio de las líneas circulares, y el álgebra delos polinomios se prestan mucho apoyo.

Tomado de: http://sacrmatematica.blogspot.com.co/2008/06/trigonometra.html

La trigonometría en los tiempos modernos

LA TRIGONOMETRÍA EN LOS TIEMPOS MODERNOS.

En el s. XVII, Isaac Newton (1642 - 1727) inventó el cálculo diferencial e integral. Uno de los fundamentos del trabajo de Newton fue la representación de muchas funciones matemáticas utilizando series infinitas de potencias de la variable x. Newton encontró la serie para el sen x y series similares para el cos x y la tg x. Con la invención del cálculo las funciones trigonométricas fueron incorporadas al análisis, donde todavía hoy desempeñan un importante papel tanto en las matemáticas puras como en las aplicadas.


Por último, en el siglo XVIII, el matemático suizo Leonhard Euler fue el que fundó verdaderamente la trigonometría moderna y definió las funciones trigonométricas utilizando expresiones con exponenciales de números complejos. Esto convirtió a la trigonometría en sólo una de las muchas aplicaciones de los números complejos.

También se le debe a este matemático el uso de las minúsculas latinas a, b, c para los lados de un triángulo plano o esférico y el de las mayúsculas correspondientes A, B, C para los ángulos opuestos. Además, Euler demostró que las propiedades básicas de la trigonometría eran simplemente producto de la aritmética de los números complejos. 

Tomado de: http://sacrmatematica.blogspot.com.co/2008/06/trigonometra.html

Ejemplos

SOLUCIÓN DE EJERCICIOS SOBRE LA TEORÍA DEL SENO Y EL COSENO.

Ejercicios de aplicación

Historia y autores

TRIGONOMETRIA

HISTORIA Y AUTORES.

La historia de la trigonometría se remonta a las primeras matemáticas conocidas, en Egipto y Babilonia. Los egipcios establecieron la medida de los ángulos en grados, minutos y segundos.

Hiparco de Nicea

Fundador de la trigonometría, autor del primer catálogo de estrellas, que incluía la posición de 1026 aparte de proponer una clasificación de dichos objetos en diversas clases de acuerdo con su brillo. Sus teorías sobre la Luna y el Sol fueron reasumidas, tal cual, por Tolomeo. Determinó la distancia y tamaño tanto del Sol como de la Luna. Comparando sus estudios sobre el cielo con los de los primeros astrónomos, Hiparco descubrió la precisión de los equinoccios. Sus cálculos del año tropical, duración del año determinada por las estaciones, tenían un margen de error de 6,5 minutos con respecto a las mediciones modernas. También inventó un método para localizar posiciones geográficas por medio de latitudes y longitudes.

Tolomeo (c. 100-c. 170)

Claudio Tolomeo, fue un astrónomo y matemático que dominó el pensamiento científico hasta el siglo XVI por sus teorías y explicaciones astronómicas. Posiblemente nació en Grecia, pero su verdadero nombre, Claudius Ptolemaeus él Contribuyó a las matemáticas con sus estudios en trigonometría y aplicó sus teorías a la construcción de astrolabios y relojes de sol.

El tratado de la esféricas de Meneláo, que se sitúa hacia el fin del primer siglo de nuestra era, proporciono a claudio Ptolomeo de Alejandría ( h.90 - h.168) las proposiciones fundamentales de trigonometría esférica en particular el celebre teorema de menéalo.